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Álgebra A 62
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ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
8.
Hallar la preimagen $T^{-1}(M)$ del conjunto $M$ por la transformación lineal $T$. Interpretar geométricamente.
a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(8 x_{1}, 3 x_{1}-x_{2}\right)$, para: (i) $M=\{(1,2)\}$ (ii) $M=\langle(1,1)\rangle$.
a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(8 x_{1}, 3 x_{1}-x_{2}\right)$, para: (i) $M=\{(1,2)\}$ (ii) $M=\langle(1,1)\rangle$.
Respuesta
i) $M=\{(1,2)\}$
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Hallar la preimagen $T^{-1}(M)$ implica encontrar los vectores de $\mathbb{R}^{2}$ a los cuales, si les aplicamos $T$, obtenemos $M$. Es decir, estamos buscando los vectores de la forma $(x_1,x_2)$ que verifican que...
$\left(\begin{array}{cc} 8 & 0 \\ 3 & -1 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Y esto que tenemos acá es una ecuación matricial con dos incógnitas, $x_1$ y $x_2$. El sistema a resolver es este:
$\begin{cases} 8x_1 = 1 \\ 3x_1 - x_2 = 2 \end{cases}$
De acá obtenemos que $x_1 = \frac{1}{8}$ y $x_2 = -\frac{13}{8}$
Con lo cual,
$T^{-1}(M) = \left\{\left(\frac{1}{8}, -\frac{13}{8}\right)\right\}$
ii) $M=\langle(1,1)\rangle$
Atenti porque ahora tenemos que encontrar todos esos vectores de $\mathbb{R}^{2}$ a los cuales, si les aplicamos $T$, obtenemos $M$ que es un subespacio. Es decir, queremos encontrar algo de la forma $k \cdot (1,1)$, con $k \in \mathbb{R}$ (acordate que todos los vectores que pertenecen a $M$ son múltiplos del $(1,1)$)
Es decir, ahora estamos buscando los vectores de la forma $(x_1,x_2)$ que verifican esto:
$\left(\begin{array}{cc} 8 & 0 \\ 3 & -1 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \\ k \end{pmatrix}$
...donde $k$, repito, puede tomar cualquier número real.
A diferencia del ítem anterior, ahora nos queda... $x_1 = \frac{k}{8}$ y $x_2 = -\frac{5k}{8}$
Es decir, los vectores $(x_1,x_2)$ que estamos buscando son tooodos estos:
$(x_1,x_2) = (\frac{k}{8},-\frac{5k}{8}) = k \cdot (\frac{1}{8}, -\frac{5}{8})$, con $k \in \mathbb{R}$
Por lo tanto, son todos los vectores que pertenecen a este subespacio -> $\langle (\frac{1}{8}, -\frac{5}{8}) \rangle$
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